Matemática na arte e arte na matemática - parte II

O número de ouro

Uma velha anedota matemática diz que os números irracionais foram descobertos por um pupilo de Pitágoras chamado Hípaso de Metaponto (só para nos localizar no tempo, isto aconteceu por volta de 500 a.C.). Ao aplicar o teorema descoberto por seu mestre a um triângulo retângulo isósceles com catetos medindo 1, a hipotenusa deveria satisfazer à relação $h^2=2$, mas não existe número racional cujo quadrado seja igual a 2. Com isto, Hípaso havia descoberto um número irracional.

Mas Hípaso não se deu por satisfeito em descobrir um número irracional. Ao considerar divisões sucessivas de diagonais de um pentágono, ele provou que a razão entre a diagonal de um pentágono regular e seu lado é $\sqrt{5}$. O passo fundamental desta demonstração é estudar quando precisa medir um segmento AB que satisfaça à seguinte propriedade: existe um ponto P entre AB tal que $AB/AP=AP/PB$.

A divisão de um segmento em dois segmentos satisfazendo a esta proporção é conhecida como seção áurea de um segmento. A razão $AB/AP$ é chamada de número de ouro. É possível calcular explicitamente o valor desta razão: $$AB/AP=\displaystyle\frac{1+\sqrt{5}}{2}.$$

Como a existência de números irracionais não era algo bem aceito na época, e principalmente devido às suas existências supostamente contradizer o Teorema de Pitágoras, dizem o pupilo perdeu literalmente a cabeça.

Outro matemático, desta vez um italiano já no século XII também obteve o número de ouro de uma outra forma totalmente diferente. Considere a sequência numérica construída da seguinte forma: 1, 1, 2, 3, 5, 8, etc, onde cada termo é obtido somando os dois termos imediatamente anteriores. Esta é a chamada sequência de Fibonacci. Esta sequência tem várias aplicações "reais" e merecerá um dia um post inteiro sobre ela. Por exemplo, ela pode ser usada para calcular o número de ramificações de uma árvore. Se denotarmos por $f(n)$ o $n$-ésimo termo da sequência de Fibonacci, advinha o que acontece se fizermos o quociente $f(n)/f(n-1)$ para valores grandes de n?

Se você chutou que esta sequência (dos quocientes $f(n)/f(n-1)$) se aproxima do número de ouro, acertou. É possível provar isto matematicamente, mas vamos somente dar alguns exemplos:

Enquanto
$$\frac{1+\sqrt{5}}{2}=1,61803398874989484...$$
temos que

• $f(20)/f(19)=1,6180339631667065295$ e
• $f(200)/f(199)=1,6180339887498948482.$

Formalmente, dizemos que $f(n)/f(n-1)$ tende a $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ quando $n\rightarrow\infty$ (o que significa $n$ tende ao infinito).

Voltando a falar sobre arte, onde aparece o número de ouro? Este artigo contém inúmeros exemplos. Quando as figuras envolvem construções arquitetônicas, outra figurinha sempre presente é o número de ouro. Em particular, retângulos áureos (que definiremos abaixo) costumam estar associados à "harmonia" e à beleza de objetos. O uso dos retângulos áureos em arquitetura é bem discutido neste artigo.

  

Razões áureas na Monalisa, como visto aqui, e no Taj Mahal.

A beleza puramente matemática

Existem alguns estudos (algumas referências neste link) que mostram que as mesmas áreas do cérebro que são ativadas ao ouvirmos uma boa música, ou ao apreciamos uma obra de arte ou ao estudarmos matemática. 

Isto talvez signifique que o mesmo tipo de beleza que atribuímos a uma obra de arte ou a uma música possa ser atribuído a uma equação matemática. Disto isto, é quase um consenso que a equação 

seja a mais bela delas. Dizem que esta equação é bonita por envolver algumas das constantes  e símbolos matemáticos mais "importantes": a constante de Euler (e), o número pi, a unidade imaginária (i), os números inteiros 0 e 1 e os sinais + e =. Esta relação não é obtida de forma arbitrária, e é preciso alguma quantidade de matemática para poder deduzir esta equação.

Em breve, o terceiro e último post sobre o assunto!

Ps.: Aprendi recentemente neste post do Baricentro da Mente a usar LaTeX em posts do Blogger, o que facilitou muito minha vida.