Matemática na arte e arte na matemática - parte I

Uma busca no Google por "arts and mathematics" retorna alguns milhões de resultados. Os primeiros envolvem Escher, fractais, poliedros e outros gráficos/representações que envolvem algum conceito matemático e podem ser ilustrados com belas figuras.

Numa série de 3 posts, falar sobre estas e outras noções artísticas que inspiraram matemáticos e também noções matemáticas que inspiraram artistas.

Neste primeiro post vamos ficar apenas no nível das figuras.

Escher

As gravuras mais famosas de Escher (Maurits Cornelis Escher, holandês que viveu entre 1898 e 1972) exploram fundamentalmente três conceitos: o primeiro deles é o de ladrilhamento (preenchimento) do plano; o outro é o de construções impossíveis e o terceiro é o de metamorfoses.

 

Maurits Escher (topo à esquerda) e três de suas obras mais famosas:

no sentido horário: Relativity, Waterfall, Sky and Water I.

As figuras de Escher exibem simetrias interessantes e são realmente belas de se ver. Em 2014 aconteceu em Campinas/SP a "Experiência Escher", parte da exposição "O Mundo Mágico de Escher", que foi a exposição mais vista em 2011, e exibe várias das obras de Escher em montagens muito interessantes.

Eu com 1,85m e o Gigante Pedro, com 3 anos e 101 cm.

Fractais

Fractais são facilmente reconhecidos por figuras que possuem cópias de si mesmas, que podem ser encontradas aumentando a escala.

 

Três exemplos de fractais: o Triângulo de Sierpinski, Capitão Haddoc e o brócolis.

Apesar da construção matemática das figuras fractais não costumar ser muito simples de explicar, os resultados produzidos são bem interessantes. Em geral fractais são construídos de forma recursiva, e desta forma podem ser considerados um ramo dos sistemas dinâmicos - conjunto Julia.

Um dos conjuntos de Julia.

O conjunto de Julia (lê-se Juliá) é a representação dos pontos que são invariantes por aplicação sucessiva da aplicação polinomial complexa $f(z)=z^2+c$, onde c é uma constante. Assim como o caso da sequência de Fibonacci, este tópico merece um post próprio, então não entraremos em detalhes aqui.